Métodos de Conteo

METODOS DE CONTEO

Para calcular la probabilidad de un evento A, es necesario contar
El número de elementos del espacio muestra S y el número de elementos de
Evento A.
Cuando el conjunto es pequeño no hay problema, pero cuando los conjuntos
Contienen muchos elementos toca acudir a unas técnicas de conteo especiales
Llamadas métodos de conteo.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

La primera de estas técnicas de conteo o métodos de conteo es la regla de la
Multiplicación la cual dice que si una operación se puede llevar a cabo en 1 n
Formas y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación
En 2 n y para cada una de dos primeras se puede realizar una tercera operación
3 n formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede
Realizar en n n,..., nk 1 2 formas

Ejemplo ¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre
y una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de
Emparedados, 5 postres y 4 bebidas?
Como 1 n = 4, 2 n = 3, 3 n = 5 y 4 n = 4 hay en total
1 n X 2 n X 3 n X 4 n = 4 X 3 X 5 X 4 = 240 almuerzos diferentes para
Elegir.

PRINCIPIO DE LA SUMA.
Supongamos que un procedimiento, designado con 1, se puede hacer de n1
Formas. Supongamos que un segundo procedimiento, designado con 2, se
Puede hacer de n2 formas. Supongamos además que no es posible que
Ambos, 1 y 2, se hagan juntos. Entonces, el número de maneras como se
Puede hacer 1 o 2 es n1 + n2.
Ejemplo.
Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportamos
Por autobús o por tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren,
Entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el viaje.

PERMUTACIONES.
Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.
El número de permutaciones de n objetos distintos es n!.
Ejemplo:
De cuantas maneras se pueden ubicar 6 personas en una fila.
7x
 6x
 5x
  4x
 3x
2x
1


7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = 5040.
Ejemplo.
El número de permutaciones de 4 letras: a, b, c, d. será 4! = 24.
El número de permutaciones de n objetos distintos de r a la vez es.



PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ
"Las ordenaciones o permutaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez es n! y se denotan con el símbolo:
ó


PERMUTACIONES CIRCULARES
Ahora estudiaremos algunos ejemplos de arreglos circulares, sabemos que si queremos sentar a cuatro personas una al lado de la otra en fila, el número de arreglos que podemos hacer es 4!; ahora bien, si las queremos sentar al rededor de una mesa circular, ¿de cuántas formas lo podemos hacer?
Observemos los siguientes arreglos:




Por cada una de las permutaciones o arreglos circulares tenemos 4 de ellos diferentes en fila; esto es, el arreglo circular 1 puede leerse en sentido contrario a las agujas del reloj de las siguientes formas: ABCD, BCDA, CDAB, y DABC, que son 4 arreglos diferentes si fueran en filas; pero es un solo arreglo circular. Entonces, en lugar de tener 4! que es el número de arreglos en fila, tenemos solamente te .


PERMUTACIONES CIRCULARES
"El número de permutaciones circulares de n elementos tomados todos a la vez es (n - 1)!" y lo denotaremos por Pcir,n = (n - 1)!



NUMERO DE PERMUTASIONES DE N OBJETOS DISTINTOS ARREGLADOS EN UN CIRCULO 

EJEMPLOS :
de cuantas formas se puede platar  5 arboles diferentes  en un circulo  .
 formula es : (n-1)!
solucion :
el numero de arboles

n=5 entonces aplicado la formula es  (n-1)!=(5-1)!=4!=24.



COMBINACIONES
En muchos problemas nos interesamos en el número de formas a seleccionar R objetos de M sin importar el orden, éstas selecciones se llaman combinaciones. Una combinación realmente es una participación de celdas, una celda contiene R objetos seleccionados y la otra contiene (n-r) objetos restantes.